Jawaban 1 mempertanyakan: Sebuah lingkaran yang berpusat di o memiliki jari-jari r. jarak titik pusat ke titik p yang terletak diluar lingkaran adalah r+8. jika panjang garis singgung lingkaran yang melalui titik p adalah 12cm, tentukan panjang jari-jari r dan jarak o ke p. Pertama kita cari persamaan kuadrat dengan mensubstitusikan terlebih dahulu persamaan garis y = 3x - 1 ke dalam persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 2x + 2y - 4 = 0, sehingga: x 2 + (3x - 1) 2 + 2x + 2 (3x - 1) - 4 = 0 x 2 + 9x 2 - 6x + 1 + 2x + 6x - 2 - 4 = 0 10x 2 + 2x - 5 = 0 Rumusumum persamaan lingkaran: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0. Pusat dan jari-jari lingkaran sama dengan persamaan di bawah. NOTE: Jika diketahui pusat lingkaran adalah (x 1, y 1) dan garis singgung Ax + By + C = 0, maka jari-jari lingkaran dapat dicari menggunakan rumus jarak titik ke garis (d). Darinilai $ K $ inilah kita bisa tentukan kedudukan titik A terhadap lingkaran dengan membandingkannya terhadap nilai $ r^2 $, yaitu : *). Jika $ K < r^2 , \, $ maka titik A terletak di dalam lingkaran. *). Jika $ K = r^2 , \, $ maka titik A terletak pada lingkaran. *). Jika $ K > r^2 , \, $ maka titik A terletak di luar lingkaran. Padasoal diketahui pusat lingkaran terletak pada garis yang artinya dan menyinggung sumbu sehingga radiusnya adalah 3. Jadi dapat disimpulkan bahwa titik pusat berada di dan jari-jari 3, sehingga persamaan lingkarannya sebagai berikut: Dengan c adalah sembarang bilangan real. Vay Tiền Trả Góp Theo Tháng Chỉ Cần Cmnd. Rangkuman Lingkaran Kelas XI/11Persamaaan lingkaranPersamaan Jarak pada LingkaranPersamaan Garis SinggungKedudukan Dua LingkaranContoh Soal & Pembahasan Lingkaran Kelas XI/11Rangkuman Lingkaran Kelas XI/11Persamaaan lingkaranPengertian lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama atau tetap terhadap titik tertentu. Yang dimaksud titik tertentu adalah pusat lingkaran sedangkan jarak yang tetap adalah jari-jari lingkaran. Beberapa persamaan lingkaran Sehingga, untuk menentukan persamaan lingkaran, langkah yang harus dilakukan adalahMenentukan pusat dan jari—jarinyaMenentukan persamaan lingkaran yang sesuai x-a2 + y – b2 = r2 atau x2 + y2 = r2Persamaan Jarak pada LingkaranJarak titik x1 , y1 ke titik x2 , y2 Jarak titik x1 , y1 ke garis Ax + By + C = 0 Persamaan Garis SinggungGaris yang memotong lingkaran di satu titik disebut garis singgung. Ada tiga hal yang menentukan, yaituApabila diketahui titik pada lingkaran Terdapat titik x1 , y1 pada lingkaran, maka persamaan harus diubah sebagai berikut Persamaannya menjadi Apabila diketahui titik di luar lingkaranTentukan persamaan garis kutub polar dari titik Ax1, y1 terhadap titik potong antara garis kutubTentukan persamaan garis singgung melalui titik potong garis kutub polar danDiketahui Gradien Apabila diketahui titik dengan gradien m pada lingkaran. Kedudukan Dua LingkaranApabila jarak antara pusat-pusat lingkaran kita sebut d, untuk r1 dan r2 merupakan jari-jari pada masing-masing kedua lingkaran, maka kedua lingkaran akanSaling lepas, sehingga d ˃ r1 + r2Saling bersinggungan di dalam lingkaran, sehingga d = r1 – r2Saling bersinggungan di luar lingkaran, sehingga d = r1 + r2Saling berpotongan, sehingga r1 – r2 3, menyinggung garis 3x + 4y = 12. Jika lingkaran tersebut berjari-jari 12, maka 3a + 4b =….2436486072PEMBAHASAN a > 3, b > 3 Jarak Pa,b ke garis 3x + 4y – 12 = 0 adalah 12 r = 12 ⇒ ⇒60 = 3a + 4b – 12 ⇒3a + 4b – 12 + 60.3a + 4b -12 – 60 = 0 ⇒3a + 4b + 48.3a + 4b – 72 = 0 ⇒ 3a + 4b = 72Jawaban ESoal SBMPTN 2018Jika lingkaran x2 + y2 + Ax + Ay + A = 0, dengan A > 0, mempunyai jari-jari 1/2 a, maka nilai A adalah…45678PEMBAHASAN Dari lingkaran x2 + y2 − ax − ay + a = 0 Didapat A = −a B = −a C = aMenentukan a dari rumus jari-jari lingkaran x 4 a2 = 2a2 − 4a a2 − 4a = 0 aa − 4 = 0 a = 0 atau a = 4 Jawaban DSoal SBMPTN 2018Diketahui dua lingkaran x2 + y2 = 2 dan x2 + y2 = 4. Garis l1 menyinggung lingkaran pertama di titik 1,-1. Garis l2 menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis l1. Titik potong garis l1 dan l2 adalah….1+, – 11-, – 11+, +11-, – 21+, + 2PEMBAHASAN Lingkaran I L1 ≡ x2 + y2 = 2 Titik pusatnya P1 0,0 dengan r1 = l1 ≡ + = 2 ⇒ + -1.y = 2 ⇒ x – y = 2……….persamaan 1 m1 = – 1/-1 = 1 l2 = -1 = -1 m2 = -1 l2 ≡ y = ± r ⇒ y = -1. x ± 2 ⇒ y = -x ± 2 ⇒ x + y = 2……….. persamaan 2 atau x + y = – 2 Menentukan titik potong l1 dan l2 x – y = 2 x + y = 2 dari kedua persamaan di peroleh x = 1 + y = – 1 1 + , – 1 Jawaban ASoal Matematika IPA SPMB 2005Jika a 0 D = b2 – 4ac x2 – Ax + 6 = 0 a = 1 , b = – A , c = 6 -A2 – 4. 1 . 6 > 0 A2 – 24 > 0 A2 > 24 A > ± 2 Soal batasan a agar garis y = ax + 4 dan lingkaran x2 + y2 = 2BersinggunganBerpotonganTidak berpotonganPEMBAHASAN Persamaan 1 y = ax + 4 Persamaan 2 x2 + y2 = 2 Substitusikan persamaan 1 ke persamaan 2, sebagai berikut x2 + ax + 42 = 2 x2 + a2x2 + 8ax + 16 = 2 1 + a2x2 + 8ax + 14 = 0Bersinggungan 1 + a2x2 + 8ax + 14 = 0 a = 1 + a2 b = 8a c = 14 D = 0 D = b2 – 4ac 8a2 – 4. 1 + a2 .14 = 0 64a2 – 56 – 56a2 = 0 8a2 – 56 = 0 8a2 = 56 a2 = 7 Maka nilai a yang memenuhi a = – atau a = Berpotongan D ≥ 0 D = b2 – 4ac 8a2 – 4. 1 + a2 .14 ≥ 0 64a2 – 56 – 56a2 ≥ 0 8a2 – 56 ≥ 0 8a2 ≥ 56 a2 ≥ 7 a ≥ ± Maka nilai a yang memenuhi a ≤ – atau a ≥ Tidak berpotongan D < 0 D = b2 – 4ac 8a2 – 4. 1 + a2 .14 < 0 64a2 – 56 – 56a2 < 0 8a2 – 56 < 0 8a2 < 56 a2 < 7 a < ± Maka nilai yang memenuhi – < a < Soal hubungan kedua lingkaran di bawah iniL1 x2 + y2 – 8x + 2y + 15 = 0 dan L2 x2 + y2 + 12x – 20y – 8 = 0L1 x2 + y2 – 10x + 9 = 0 dan L2 x2 + y2 – 8y – 20 = 0L1 x2 + y2 + 6x + 10y – 15 = 0 dan L2 x2 + y2 – 4x – 8y – 5 = 0L1 x2 + y2 – 24x – 6y + 32 = 0 dan L2 x2 + y2 + 8x – 10y + 16 = 0PEMBAHASAN L1 x2 + y2 – 8x + 2y + 15 = 0 L2 x2 + y2 + 12x – 20y – 8 = 0 Titik pusat lingkaran Jari jari lingkaran Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2 Maka hubungan kedua lingkaran tersebut adalah L1 dan L2 saling lepas L1 x2 + y2 – 10x + 9 = 0 L2 x2 + y2 – 8y – 20 = 0 Titik pusat lingkaran Jari jari lingkaran Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2 Hubungan kedua lingkaran L1 dan L2 berpotongan L1 x2 + y2 + 6x + 10y – 15 = 0 L2 x2 + y2 – 4x – 8y – 5 = 0 Titik pusat lingkaran Jari jari lingkaran Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2 Hubungan kedua lingkaran L1 dan L2 berpotongan L1 x2 + y2 – 24x – 6y + 32 = 0 L2 x2 + y2 + 8x – 10y + 16 = 0 Titik pusat lingkaran Jari jari lingkaran Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2 Maka hubungan kedua lingkaran L1 dan L2 bersinggungan di luar Soal sebuah lingkaran berpusat di 2,3 dan berjari-jari 4, maka persamaannya adalah …x2 + y2 + 4x + 6y + 5 = 0x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0x2 – y2 + 4x + 6y – 5 = 0x2 – y2 – 6x + 6y – 3 = 0x2 + y2 – 4x + 6y – 5 = 0PEMBAHASAN Pusat lingkaran di 2,3 → a,b Jari-jari lingkaran = r = 4Rumus yang berlaku sebagai berikut x – a2 + y – b2 = r2 x – 22 + y – 32 = 42 x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 16 x2 + y2 – 4x – 6y + 13 – 16 = 0 x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0 Jawaban BSoal sebuah lingkaran yang berpusat di titik 3,4 dan melalui titik 7,7. Maka persamaan lingkarannya adalah …x2 + y2 – 8x – 6y + 10 = 0x2 + y2 + 6x + 8y – 2 = 0x2 – y2 – 6x + 8y = 0x2 + y2 – 6x – 8y = 0x2 – y2 + 6x – 8y = 0PEMBAHASAN Titik pusat lingkaran 3,4 → a,b Rumus yang berlaku sebagai berikut x – a2 + y – b2 = r2 x – 32 + y – 42 = r2Titik yang di lalui lingkaran 7,7 → x,y x – 32 + y – 42 = r2 7 – 32 + 7 – 42 = r2 42 + 32 = r2 16 + 9 = r2 25 = r2 5 = rMaka, menentukan persamaan lingkarannya sebagai berikut x – 32 + y – 42 = r2 x – 32 + y – 42 = 52 x2 – 6x + 9 + y2 – 8y + 16 = 52 x2 + y2 – 6x – 8y + 25 = 25 x2 + y2 – 6x – 8y = 0 Jawaban DSoal persamaan lingkaran x2 + y2 – 6x – 8x – 11 = 0. Maka pusat dan jari-jari lingkarannya adalah …3,4 dan 62,5 dan 81,4 dan 43,2 dan 101,2 dan 5PEMBAHASAN x2 + y2 – 6x – 8x – 11 = 0 A = – 6, B = – 8, C = – 11Menentukan pusat lingkaran Menentukan jari-jari lingkaran Maka titik pusat lingkaran 3,4 dan jari-jari lingkaran = 6 Jawaban ASoal persamaan lingkaran x2 + y2 – 2x + 6y + 1 = 0, maka persamaan garis singgung lingkaran di titik 4,2 adalah …2x – 5y + 3 = 03x + 2y – 3 = 0x + 9y + 3 = 03x – 2y + 1 = 03x + 5y + 3 = 0PEMBAHASAN x2 + y2 – 2x + 6y + 1 = 0 → A = -2, B = 6, C = 1 Titik singgung 4,2 → x1 , y1Rumus yang berlaku + + ax1 + x + by1+ y + c = 0 + – ½ .2x1 + x + ½ .6y1+ y + c = 0 4x + 2y – 4 + x + 3 2 + y + 1 = 0 4x + 2y – 4 – x + 6 + 3y + 1 = 0 3x + 5y + 3 = 0 Jawaban ESoal lingkaran x2 + y2 – 6x + 8y + C = 0 memiliki jari-jari 4. Maka C haruslah bernilai sama dengan …4791215PEMBAHASAN x2 + y2 – 6x + 8y + C = 0, jari jari = 4 A = – 6 B = 8 r = 4Menentukan nilai C dengan rumus jari-jari lingkaran 16 = 9 + 16 – C 16 = 25 – C C = 9 Jawaban C PembahasanIngat! Koordinat bayangan x , y dari hasil perncerminan garis y = − x dirumuskan oleh x , y M y = − x ​ ​ x ′ , y ′ , dengan x ′ y ′ ​ = − y − x ​ Persamaan lingkaran pusat a , b menyinggung sumbu x dirumuskan dengan x − a 2 + y − b 2 = b 2 Diketahui lingkaran berpusat di 3 , 4 menyinggung sumbu x , maka x − 3 2 + y − 4 2 x − 3 2 + y − 4 2 ​ = = ​ 4 2 16 ​ Lingkaran di atas, direfleksi oleh garis y = − x , sehingga x ′ y ′ ​ = − y − x ​ Dari kesamaan di atas, diperoleh x ′ y y ′ x ​ = = = = ​ − y − x ′ − x − y ′ ​ Untuk menentukan bayangan x − 3 2 + y − 4 2 ​ = ​ 16 ​ oleh pencerminan terhadap garis y = − x ,substitusikan x dan y di atas ke garis x − 3 2 + y − 4 2 ​ = ​ 16 ​ , sehingga − y ′ − 3 2 + − x ′ − 4 2 y ′2 + 6 y ′ + 9 + x ′2 + 8 x ′ + 16 x ′2 + y ′2 + 8 x ′ + 6 y ′ + 9 x 2 + y 2 + 8 x + 6 y + 9 ​ = = = = ​ 16 16 0 0 ​ Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah Koordinat bayangan dari hasil perncerminan garis dirumuskan oleh , dengan Persamaan lingkaran pusat menyinggung sumbu dirumuskan dengan Diketahui lingkaran berpusat di menyinggung sumbu , maka Lingkaran di atas, direfleksi oleh garis , sehingga Dari kesamaan di atas, diperoleh Untuk menentukan bayangan oleh pencerminan terhadap garis , substitusikan dan di atas ke garis , sehingga Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah C.

pusat sebuah lingkaran terletak pada garis y 3